Четырехугольники
Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не пересекаются.
Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными . Две вершины, не являющиеся соседними, называются также противоположными.
Четырехугольники бывают выпуклые (как ABCD) и
невыпуклые (A1B1C1D1).
________________________________________
Виды четырёхугольников
Параллелограмм
Параллелогра́мм (др.-греч. παραλληλόγραμμον от παράλληλος — параллельный и γραμμή — линия) — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб
Параллелограмм Свойства
• Противоположные стороны параллелограмма равны
| AB | = | CD | , | AD | = | BC | .
• Противоположные углы параллелограмма равны
• Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам
| AO | = | OC | , | BO | = | OD | .
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180.
• Любая диагональ делит параллелограмм на 2 равных треугольника.
• Биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник.
Признаки параллелограмма
Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:
1. Противоположные стороны попарно равны: AB = CD, AD = BC.
2. Противоположные углы попарно равны: ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
3. Диагонали делятся в точке их пересечения пополам: AO = OC, BO = OD.
4. Сумма соседних углов равна 180 градусов: ∠A + ∠B = 180, ∠B + ∠C = 180, ∠C + ∠D = 180, ∠D + ∠A = 180.
5. Противоположные стороны попарно равны и параллельны: AB = CD, AB || CD.
6. Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырехугольника равна его полупериметру.
[править] Площадь параллелограмма
, где a - сторона, h - высота проведенная к этой стороне.
, где a и b - стороны, а α — угол между сторонами a и b
•
• Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон:
пусть а — длина стороны AB, b — длина стороны BC, d1 и d2 — длины диагоналей; тогда
Трапеция
Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, еда») — четырёхугольник, у которого только одна пара противолежащих сторон параллельна.
Иногда трапеция определяется как четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна (про другую не уточняется), в этом случае параллелограмм является частным случаем трапеции. В частности, существует понятие криволинейная трапеция.
Элементы трапеции
• Параллельные стороны называются основаниями трапеции.
• Две другие стороны называются боковыми сторонами.
• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
• Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.
[править] Виды трапеций
Прямоугольная трапеция
Равнобедренная трапеция
• Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной.
• Трапеция, у которой один из углов "прямой", называется прямоугольной.
[править] Общие свойства
• Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
• Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований.
• (Обобщённая теорема Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.
[править] Свойства равнобедренной трапеции
• Прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции.
• Высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой - полуразности оснований.
• В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
• В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.
• Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.
• Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований,
[править] Вписанная и описанная окружность
• Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность.
• Если трапеция равнобедренная, то около неё можно описать окружность.
[править] Площадь
Здесь приведены формулы, свойственные именно трапеции. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.
В случае, если a и b — основания и h — высота, формула площади:
В случае, если m — средняя линия и h — высота , формула площади:
Формула, где a, b — основания, c и d — боковые стороны трапеции:
Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности равном r и углом при основани и α: .
|