Прикладная математика — область математики, рассматривающая применение математических методов, алгоритмов в других областях науки и практики. Примерами такого применения будут: численные методы, математическая физика, линейное программирование, оптимизация и исследование операций, моделирование сплошных сред (Механика сплошных сред), биоматематика и биоинформатика, теория информации, теория игр, теория вероятностей и статистика, финансовая математика и теория страхования, криптография, а следовательно комбинаторика и в некоторой степени конечная геометрия, теория графов в приложении к сетевому планированию, и во многом то, что называется информатикой. В вопросе о том, что является прикладной математикой, нельзя составить чёткую логическую классификацию. Математические методы обычно применяются к специфическому классу прикладных задач путём составления математической модели системы.
Тео́рия вероя́тностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.
История
Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам, как к свойствам реальных событий, и они формулировались в наглядных представлениях. Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей[1]. Под влиянием поднятых и рассматриваемых ими вопросов решением тех же задач занимался и Христиан Гюйгенс. При этом с перепиской Паскаля и Ферма он знаком не был, поэтому методику решения изобрёл самостоятельно. Его работа, в которой вводятся основные понятия теории вероятностей (понятие вероятности как величины шанса; математическое ожидание для дискретных случаев, в виде цены шанса), а также используются теоремы сложения и умножения вероятностей (не сформулированные явно), вышла в печатном виде на двадцать лет раньше (1657 год) издания писем Паскаля и Ферма (1679 год)[2].
Важный вклад в теорию вероятностей внёс Якоб Бернулли: он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний. В первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П. Л. Чебышев, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова. Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.
Вероятностное пространство — это тройка , где
• — это произвольное множество, элементы которого называются элементарными событиями, исходами или точками;
• — сигма-алгебра подмножеств , называемых (случайными) событиями;
• — вероятностная мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная конечная мера, такая что .
Замечания
• Элементарные события (элементы ), по определению, — это исходы случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один.
• Каждое случайное событие (элемент ) — это подмножество . Говорят, что в результате эксперимента произошло случайное событие , если (элементарный) исход эксперимента является элементом A.
Требование, что является сигма-алгеброй подмножеств , позволяет, в частности, говорить о вероятности случайного события, являющегося объединением счетного числа случайных событий, а также о вероятности дополнения любого события.С Конечные вероятностные пространства
Простым и часто используемым примером вероятностного пространства является конечное пространство. Пусть — конечное множество, содержащее элементов.
В качестве сигма-алгебры удобно взять семейство подмножеств . Его часто символически обозначают . Легко показать, что общее число членов этого семейства, т.е. число различных случайных событий, как раз равно , что объясняет обозначение.
Вероятность, вообще говоря, можно определять произвольно. Часто, однако, нет причин считать, что один элементарный исход чем-либо предпочтительнее другого. Тогда естественным способом ввести вероятность является:
,
где , и - число элементарных исходов, принадлежащих .
В частности, вероятность любого элементарного события:
[править] Пример
Рассмотрим эксперимент с бросанием уравновешенной монеты. Тогда естественным способом задать вероятностное пространство будет взять и определить вероятность следующим образом:
|