Числові послідовності
1. Означення числової послідовності
Дамо означення нескінченної числової послідовності та опишемо деякі з них.
Означення. Нескінченною числовою послідовністю називається сукупність чисел, кожному з яких присвоєно певний порядковий номер
(5.1)
де числа - члени послідовності, відповідно, перший, другий і т.д.; - - й, або загальний член послідовності.
Числову послідовність записують або у вигляді ряду чисел (5.1) або у вигляді Числова послідовність вважається заданою, якщо вказано закон або правило, за допомогою якого кожному натуральному числу ставиться у відповідність дійсне число Опишемо основні способи задання цього правила.
Спосіб 1. Правило може бути задане формулою, якою задається загальний член послідовності
Приклади.
1. Відповідна числова послідовність має вигляд
.
2. Дана послідовність має вигляд .
Спосіб 2. При заданні послідовності задають кілька її початкових членів і правило (майже завжди це формула) утворення -го члена за допомогою попередніх членів. Такий спосіб називається рекурентним.
Наприклад, нехай Так задано послідовність .
Спосіб 3. У деяких випадках може бути невідома формула загального члена послідовності, і також не задано рекурентне співвідношення, а послідовність задається словесно. Наприклад, нехай є десятковим наближенням квадратного кореня із з надбавкою з точністю до Тоді перші члени цієї послідовності мають вигляд:

Геометрично члени послідовності зображаються точками на числовій осі.
Серед числових послідовностей в окремий клас виділяють монотонні послідовності, що об’єднують в собі зростаючі, спадні , неспадні, не зростаючі послідовності.
Означення . Послідовність називається зростаючою, якщо кожний її наступний член більший від попереднього, тобто для кожного
Приклад. У послідовності кожний наступний член більший від попереднього. Отже, задана послідовність є зростаюча.
Означення . Послідовність називається неспадною, якщо для кожного
Приклад. Якщо покласти ( означає функцію рантьє), то дістанемо неспадну послідовність .
Означення . Послідовність називається спадною, якщо
для кожного
Приклад. Послідовність є спадна.
Означення . Послідовність називається незростаючою, якщо для кожного .
Приклад . Якщо взяти то дістанемо незростаючу послідовність.
Для дальшого вивчення числових послідовностей слід ввести поняття обмежених і необмежених послідовностей.
Означення . Послідовність називається обмеженою зверху, якщо існує дійсне число таке, що для всякого виконується нерівність .
Послідовність називається обмеженою знизу, якщо існує дійсне число таке, що для всіх виконується нерівність
Приклади .
1. Якщо взяти дістанемо послідовність обмежену зверху , оскільки
2. Якщо взяти дістанемо послідовність обмежену знизу, оскільки
Означення . Послідовність називається обмеженою, якщо вона обмежена і зверху, і знизу, у противному разі – необмеженою.
Приклади .
1. Нехай Послідовність
є обмежена
Послідовність не є обмежена .
Наведемо ще такі формулювання означення обмежених та необмежених послідовностей .
Послідовність називається обмеженою, якщо для всіх
Покладемо Послідовність називається обмеженою, якщо
Послідовність називається необмеженою, якщо

Приклади .
1. Нехай Тоді Отже, послідовність є обмежена.
2. Розглянемо послідовність Тут Яке б число ми не взяли, знайдеться таке натуральне число, наприклад , коли Отже, задана послідовність не є обмежена .
Зауваження. Обмежена послідовність не є обов’язково монотонною, і навпаки, не всяка монотонна послідовність є обмежена. Так, послідовність є обмежена , але не є монотонна; послідовність є монотонна, але не є обмежена; послідовність є і необмежена, і немонотонна; послідовність є обмежена і монотонна.
2. Границя числової послідовності
Дамо означення границі послідовності та розглянемо геометричну ілюстрацію цього поняття.
Означення . Стале число називається границею числової послідовності , якщо для будь-якого як завгодно малого додатного числа існує таке натуральне число що для всіх виконується нерівність
(5.2)
Той факт, що є границею послідовності символічно
записується так:
або при
Іншими словами, число називається границею послідовності якщо . (5.3)
Приклад. Довести, що Знайти номер такий, коли при

Р о з в ’ я з о к. Згідно з означенням границі треба показати, що
(5.4)
Для виконання нерівності (5.4) треба , щоб
або .
Отже, існує число ,а саме коли при виконується нерівність(5.4). Тому Знайдемо залежно від конкретно заданого . Нехай тоді

Тому нерівність

справедлива для всіх
Розглянемо геометричну ілюстрацію того факту, коли є
границею числової послідовності . Візьмемо на числовій осі точку з абсцисою і відкладатимемо точки з абсцисами

Тоді нерівність (5.3) означає, що відстань між точкою при і точкою повинна бути меншою за . Отже, всі члени послідовності починаючи з повинні знаходитися в інтервалі Інтервал є - околом точки .
Якщо число є границею послідовності , то всі члени цієї послідовності, номери яких знаходяться у довільному - околі точки . Що стосується членів послідовності номери яких то про їх розміщення на числовій осі нічого не можна сказати, вони можуть знаходитися як всередині - околу точки , так і поза ним. Проте у всякому разі поза довільним - околом точки може бути розміщене тільки скінчене число членів послідовності.
3. Властивості збіжних числових послідовностей
Введемо поняття збіжних послідовностей та подамо ряд їх властивостей, які будемо формулювати у вигляді теорем.
Означення . Числова послідовність, яка має границю, називається збіжною, а яка не має границі, - розбіжною.
Теорема 1. Послідовність може мати тільки одну границю.
Теорема 2. Якщо послідовність має границю, то вона обмежена.
Зауваження . Оберненого твердження цієї теореми не існує.
Так, послідовність є обмежена, але вона не має границі.
Теорема 3. Якщо і то й члени послідовності починаючи з певного номера і для всіх наступних номерів, будуть більші за (менші за ).
Наслідок 1. Члени послідовності яка має границю, починаючи з певного номера, мають знак цієї границі.
Наслідок 2. Якщо дві послідовності і при кожному значенні задовольняють нерівності і то
Зауваження . Якщо члени послідовностей і що мають границі, задовольняють при всіх нерівності то

Теорема 4. Нехай члени послідовностей , , при всіх значеннях задовольняють нерівності і Тоді

4. Нескінченно малі та нескінченно великі числові послідовності
Введемо поняття нескінченно малих та нескінченно великих послідовностей і встановимо зв’язок між ними.
Означення. Числова послідовність називається нескінченно малою, якщо
(5.5)
що те саме при
Означення. Числова послідовність називається нескінченно великою, якщо
(5.6)
Цей вираз записують так:

Теорема 1. Якщо послідовність нескінченно мала і при всіх то послідовність - нескінченно велика. Якщо послідовність нескінченно велика і при всіх то послідовність - нескінченно мала.
Теорема 1. Для того щоб послідовність мала границю, яка б дорівнювала необхідно і достатньо, щоб існувала така нескінченно мала послідовність що
(5.7)
Зауваження. Розглянемо арифметичні операції над числовими послідовностями: додавання, віднімання, множення та ділення.
Нехай маємо дві послідовності :
(5.8)
та
(5.9)
Тоді додавання, віднімання та множення послідовностей (5.8), (5.9) виконуються додаванням, відніманням чи множенням відповідних членів цих послідовностей.
Якщо всі то частка від ділення послідовності (5.8) на послідовність (5.9) визначається як послідовність члени якої
Символічно ці дії познаються так:

Теорема 2. Алгебраїчна сума двох нескінченно малих є нескінченно мала.
Наслідок 1. Алгебраїчна сума скінченої множини нескінченно малих є нескінченно мала.
Теорема 2. Добуток нескінченно малої числової послідовності на послідовність обмежену є нескінченно мала числова послідовність.
Наслідок 2. Добуток сталої величини на нескінченно малу числову послідовність є нескінченно мала числова послідовність.
Наслідок 3. Добуток скінченого числа нескінченно малих числових послідовностей є нескінченно мала числова послідовність.

5. Основні теореми про границі
Наведемо теореми, якими користуються для знаходження границі числових послідовностей.
Теорема 1. Алгебраїчна сума двох збіжних послідовностей і є збіжна послідовність, її границя дорівнює відповідній сумі границь даних послідовностей.
Д о в е д е н н я. Нехай Тоді

де і - нескінченно малі послідовності.
Додавши почленно ці рівності, дістанемо:

Отже, вираз ми подали у вигляді суми сталого числа
і нескінченно малої Тому існує та

Зауваження . Теорема справедлива й для випадку всякого скінченого числа збіжних числових послідовностей.
Теорема 2. Добуток двох збіжних послідовностей і є збіжна послідовність, її границя дорівнює добутку границь даних послідовностей.
Д о в е д е н н я. За умовою теореми
Тому де - нескінченно малі послідовності.
Тоді
Із властивостей нескінченно малих виводимо, що послідовність
- нескінченно мала.
Звідси
тобто
Теорему доведено.
Зауваження. Теорема справедлива й у випадку добутку всякого скінченого числа збіжних послідовностей.
Наслідок 1. Якщо послідовність має скінчену границю, то при всякому сталому маємо:

або сталий множник можна виносити за знак границі.
Наслідок 2. Якщо і - натуральне число,
то

Теорема 3. Якщо послідовності і збігаються, причому і то
послідовність збігаються і її границя дорівнює відношенню
границь послідовностей та
Д о в е д е н н я. За умовою теореми

де - нескінченно малі послідовності.
Оскільки то де - стале число.
Надалі обмежимося тими членами послідовності які задовольняють попередній нерівності. Тоді
.
Послідовність є обмежена, оскільки
Послідовність є нескінченно мала. Таким чином, є нескінченно мала.
Тому
Теорему доведено.
При вивчені основних теорем про границі ми вважали, що числові послідовності і мають скінченні границі, причому при доведенні теореми про границю частки вважали, що границя дільника не дорівнює нулю.
Розглянемо випадок, коли і є нескінченно великі числові послідовності, тобто

Легко бачити, що арифметична сума і добуток цих послідовностей є також нескінченно велика числова послідовність. Проте нічого конкретного в загальному випадку не можна сказати про частку від ділення та різницю цих послідовностей. Частка від ділення таких послідовностей залежно від закону зміни і може
поводити себе по-різному. Кожного разу відношення треба досліджувати. Тому говорять, що відношення якщо є невизначеність. І цю невизначеність символічно позначають так:
Приклади.
1. Знайти
Р о з в ’ я з о к. Розкрити невизначеність В цьому випадку поступають так: чисельник і знаменник ділять на (від цього дріб не змінюється ), а потім застосовують теореми про границі частки і суми. Наведемо повний запис обчислення границі:

2. Знайти
Р о з в ’ я з о к.

3. Знайти
Р о з в ’ я з о к.

Сказане про частку стосується й різниці двох нескінченно великих числових послідовностей. Якщо то різницю називають невизначеністю виду
Приклад. Знайти
Р о з в ’ я з о к. Тут маємо невизначеність виду Для її розкриття позбавляємося ірраціональності у чисельнику.
Матимемо
З аналогічним фактом ми зустрічаємось у випадку відношення двох нескінченно малих числових послідовностей. Якщо то частка від ділення може також поводити себе по – різному. Цю невизначеність називають невизначеністю виду Цю, а також й інші невизначеності розглянемо в наступних параграфах.
6. Границя монотонної числової послідовності
Основні теореми про границі дають змогу встановлювати та знаходити числове значення границі заданої числової послідовності за допомогою границь інших числових послідовностей, певним чином пов’язаних з розглядуваною. Проте в деяких випадках як теоретичного, так і практичного характеру не завжди можна використати ці теореми. Тому доводиться застосовувати інші способи, зокрема ознаки збіжності числових послідовностей.
Теорема 1. Якщо послідовність
(5.10)
є монотонно зростаюча (спадна) і обмежена зверху (знизу), то вона збіжна.
5. Порівняння нескінченно малих величин
Іноді доводиться розглядати не одну, а декілька нескінченно малих функцій в даній точці. Такі функції порівнюють між собою за допомогою границі їх відношення. Знайти границю такого відношення за відомими теоремами про нескінченно малі і про границі не можна. Це не випадково. Відношення двох нескінченно малих, залежно від характеру зміни порівнюваних між собою нескінченно малих, може вести себе по-різному: воно може бути або величиною, що прямує до скінченої, відмінної від нуля границі, або величиною нескінченно малою, або нескінченно великою, або величиною, яка має границі.
Кожне із цих чотирьох випадків має свою назву. Нехай і є нескінченно малі функції в точці .
Означення.1. Якщо
,
то і в точці називаються нескінченно малими однакового порядку малості.
Приклади.
1. Нехай . При і
і прямують до нуля. Знайдемо

Отже, функції і є нескінченно малі однакового порядку малості в точці .
2. Нехай

і .
Знайдемо
.
Отже, функції і на нескінченності однакового порядку малості.
3. Нехай ,
і .
Знайдемо
.
Отже, функції і при нескінченно малі однакового порядку малості.
Означення 2. Якщо
,
то називається нескінченно малою вищого порядку малості, ніж . При цьому - нескінченно мала нижчого порядку малості, ніж .
Приклади.
1. Нехай . Тоді і в
точці є нескінченно малі функції. Знайдемо

Отже, в цьому випадку є нескінченно мала вищого порядку, ніж .
2. , , і - нескінченно малі при . Знайдемо


Отже, при є нескінченно мала вищого порядку, ніж .
Означення 3. Якщо
,
то називається нескінченно малою більш нижчого порядку малості, ніж .
Приклад.
Нехай , . При і - нескінченно малі. Знайдемо

Отже, при є нескінченно малою нижчого
порядку малості, ніж .
Означення 4. Якщо границі відношення і не існує (ні скінчена, ні нескінченна), то і називаються не порівнювальними нескінченно малими.
Означення 5. Якщо
,
то і в точці називаються еквівалентними, і записуються : ~ .