1 Операции с векторами и их свойства
Суммой векторов и называется вектор Для любых векторов справедливы равенства


Теорема 1
Каковы бы ни были три точки A , B и C , имеет место векторное равенство
Доказательство
Пусть A ( x 1 ; y 1 ), B ( x 2 ; y 2 ), C ( x 3 ; y 3 ) – данные точки.
Вектор имеет координаты вектор имеет координаты Следовательно, вектор имеет координаты Вектор имеет такие же координаты. По теореме 11.5 Теорема доказана.
Рисунок 11.2.1.
Рисунок 11.2.2.
Замечание. Теорема 11.6 дает следующий способ построения суммы произвольных векторов и Надо от конца вектора отложить вектор равный вектору Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора а конец – с концом вектора будет суммой векторов и
Правило параллелограмма : для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах.
Рисунок 11.2.3.
Разностью векторов и называется такой вектор который в сумме с вектором дает вектор откуда c 1 = a 1 – b 1 ; c 2 = a 2 – b 2.
Произведением вектора на число λ называется вектор т. е.
Для любого вектора и чисел λ и μ

Для любых двух векторов и и числа λ

Теорема 2
Абсолютная величина вектора равна |λ || a |. Направление вектора при совпадает с направлением вектора если λ > 0, и противоположно направлению вектора если λ < 0.
Доказательство
Построим векторы и равные и соответственно ( O – начало координат). Пусть и – координаты вектора Тогда координатами точки A будут числа и координатами точки B – числа и Уравнение прямой OA имеет вид: α x + β y = 0. Так как уравнению удовлетворяют координаты точки A ( a 1 ; a 2 ), то ему удовлетворяют и координаты точки B (λ a 1 ; λ a 2 ). Отсюда следует, что точка B лежит на прямой OA . Координаты c 1 и c 2 любой точки C , лежащей на луче OA , имеют те же знаки, что и координаты a 1 и a 2 точки A , и координаты любой точки, которая лежит на луче, дополнительном к OA , имеют противоположные знаки.
Поэтому, если λ > 0, то точка B лежит на луче OA , а следовательно, векторы и одинаково направлены. Если λ < 0, то точка B лежит на дополнительном луче и векторы и противоположно направлены.
Абсолютная величина вектора равна Теорема доказана.
Рисунок 11.2.4.
Теорема 3
Для любых отличных от нуля коллинеарных векторов и существует такое число λ, что
Доказательство
Пусть и одинаково направлены. Векторы и одинаково направлены и имеют одну и ту же абсолютную величину Значит, они равны: Если векторы и противоположно направлены, аналогично заключаем, что Теорема доказана.

Теорема 4
Пусть и – отличные от нуля неколлинеарные векторы. Любой вектор можно единственным образом представить в виде
Доказательство
Пусть A и B – начало и конец вектора Проведем через точки A и B прямые, параллельные векторам и Они пересекутся в некоторой точке C . Имеем Так как векторы и коллинеарны, то так как векторы и коллинеарны, то Таким образом,
Рисунок 11.2.5.
Для доказательства единственности представления допустим, что в условиях теоремы такое представление не единственно. То есть наряду с числами λ и μ такими, что существуют числа и такие, что и при этом верно хотя бы одно из соотношений Пусть для определенности Тогда из равенства имеем На основании теоремы 11.7 и замечания 11.1 получаем, что векторы и коллинеарны. Но это противоречит условию неколлинеарности этих векторов. Показанное противоречие доказывает единственность представления. Теорема доказана.
Скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением векторов и называется число Скалярное произведение векторов и обозначется
Для любых векторов и верно:



Теорема 5
Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.
Доказательство
Пусть и – данные векторы и φ – угол между ними. Имеем:
или
Скалярное произведение таким образом, выражается через длины векторов и т. е. систему координат можно выбрать любую, а величина скалярного произведения не изменится. Выберем систему координат так, чтобы начало координат совпало с началом вектора а сам вектор лежал на положительной полуоси оси Ox . Тогда координатами вектора будут числа и 0, а вектора – b cos φ и b sin φ . По определению

Рисунок 11.2.6.
Единичные векторы и имеющие направления положительных координатных полуосей, называются координатными векторами или ортами.
Теорема 6
Любой ненулевой вектор единственным образом можно разложить по координатным векторам, то есть записать в виде
Доказательство
Так как координатные векторы отличны от нуля и неколлинеарны, то любой вектор допускает разложение по этим векторам в силу теоремы 11.9 Найдем λ и μ. Умножим обе части равенства скалярно на вектор Имеем С учетом того, что и ортогональны, имеем Аналогично, умножая равенство на получим или Таким образом, для любого вектора получается разложение Так как в силу теоремы 11.4 и теоремы 11.5 координаты однозначно определяют вектор, то разложение единственно. Теорема доказана.